الهندسة الاقليدية

الهندسة الإقليدية :
تقوم الهندسة المنسوبة لإقليدس على خمس مسلمات اتفق من يعملون بالرياضيات على صحى الأربعة الأولى منها وأما الخامسة وهى مسلمة التوازى فقد اختلفوا فيها فمنهم من قال بصحتها ومنهم من قال ببطلانها وسوف نناقش المسلمات الخمس لنتحقق منها
1-"يمكن رسم مستقيم من أية نقطة إلى نقطة أخرى"وبألفاظ أخرى لبعضهم "إذا كانت النقطتان أ،ب مختلفتين فأنه يوجد خط وحيد س بحيث أ،ب ينتميان إلى س "وحسب التعريف الأول فالخطأ فيها يتمثل فى التالى :
- عدم تحديد معنى المستقيم فالمستقيم عند اقليدس هو خط ممتد وهذا التعريف خطأ فلا يوجد سوى خط واحد هو المستقيم وأما بقية الخطوط فمنحرفة عن المستقيم لن من خالف الاستقامة – أى الذى لم يطابق المستقيم فى كل شىء- الممثلة فى المستقيم منحرف وأيضا لا يوجد فى الكون خط ممتد للأبد لأن الكون محدود والمحدود منتهى وليس ممتد
- الوصل بين نقطتين احتمالى بمعنى أننا من الممكن أن نصل بين النقطتين فمثلا يمكن أن نصل بين نقطتين فى الأرض بينما مثلالا يمكن أن نصل بين نقطتين إحادهما فى الأرض والثانية فى السماء لعدم قدرتنا على الوصل بينهما
وأما حسب التعريف الثانى فالخطأ ممثل فى جملة "خط وحيد "فالوصل بين النقطتين ا،ب ممكن عن طريق أكثر من خط سواء كان هذا الخط منكسر أو منحنى أو غير هذا والرسم يوضح هذا



ومن الجدير بالذكر أن طرق المواصلات نجد نقاط تقاطعها بها خطوط متعددة سواء منحنية أو منكسرة
2- "يمكن مد أى قطعة مستقيمة على استقامتها كما نشاء "وأخطاء المسلمة هى :
- مخالفة المسلمة لتعريف القطعة المستقيمة الذى بنيت عليه وهو مجموعة من النقط تكون محدودة من نهايتيها بنقطتين معينتين فإذا كانت القطعة المستقيمة لها نهايات من الجانبين فكيف يمكن مدها من أى جنب إلى ما لا نهاية ؟أليس عجيبا فى تعريفها لها نهاية وفى المسلمة لا نهاية لها ؟
-أى خط أو قطعة منه لا يمكن مدها إلى ما لا نهاية لأن الكون محدود له بداية وله نهاية ومن ثم لا يمكن لأى خط أو قطعة الامتداد اللانهائى
-لو تنازلنا عن محدودية الكون فستقابلنا مشكلة أن الإنسان لا يمكن أن يمد أى خط على استقامته فى الأرض لأن الأصل فيها هو التعرج فهى قائمة على المنحنيات والانكسارات ممثلة فى الجبال والتلال والسواحل وغيرها من مظاهر التضاريس ولذا لا نجد طريق مستقيم شامل فى الأرض
3-"يمكن رسم دائرة بتعيين أى نقطة كمركز لهذه الدائرة ونأخذ نصف قطرها مساويا لطول قطعة مستقيمة معينة من هذا المركز "هذه المسلمة ليست صحيحة حتى على الورق بدليل أننا مثلا لو أخذنا نقطة قرب حافة الصفحة وأردنا الرسم فسنرسم جزء منها والجزء الباقى لم يرسم لن الورقة انتهت عند حد معين والكون مثل الورقة له حدود فمثلا لو أتينا قرب حافته واتخذنا نقطة ورسمنا فستقابلنا مشكلة هى أن بعد الحافة لا يوجد مكان نكمل فيه الدائرة وأقول هذا على اعتبار أن الكون مستوى كالورقة وهو ليس كذلك دعنا نسأل أنفسنا هل يمكن أن نضمن عدم وجود معوقات تمنع رسم الدائرة ؟الإجابة فى الواقع توجد مثل هذه المعوقات فى الأرض
4-"الزوايا القائمة متساوية "أى بألفاظ أخرى كل الزوايا القائمة تكون متطابقة ،هذه المسلمة هى الوحيدة الصحيحة بإضافة جملة "فى عدد درجات الزاوية "لأن الزوايا القوائم لا تتخذ وضعا واحدا حتى تتطابق وإنما نظريا حسب الهندسة تتخذ 360 وضعا حيث من الممكن رسم زاوية قائمة من كل درجة .
5-"من نقطة خارج مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد وواحد فقط يمر بهذه النقطة ويوازى المستقيم المعلوم "ويقال أيضا "لكل خط س ولكل نقطة أ لا تنتمى إلى س يوجد خط وحيد ص يمر بالنقطة أ يوازى الخط س "وتسمى هذه المسلمة مسلمة التوازى ويقولون –والله أعلم – أن الخطين المتوازيين يتقاطعان رغم أن ذلك لا يوجد فى المسلمة والأخطاء هنا هى :
أ-الزعم بوجود مستقينين مستقيم معلوم ومستقيم واحد مرسوم وقد سبق أن بينا أنه لا يوجد سوى مستقيم واحد –إن كان للاستقامة الخطية وجود- وبقية الخطوط منحرفة عنه
ب-فى التعريف الثانى الزعم بوجود خط وحيد يمر بالنقطة ويوازى الخط الأخر ومن الملاحظ أن فى حالة الكرة توجد خطوط عديدة متوازية مرسومة على الكرة فالأقطار كثير منها يوازى الأخر إن لم يكن كلها .
مسلمات هلبرت :
سماها جانوس بولياى الهندسة المطلقة وهى تسمية غير مطابقة للواقع وسماها برينوتز وجوردان الهندسة المحايدة وقد قام دافيد هلبرت أحد المشتغلين بالرياضيات بتجميع جهود من قبله فى الهندسة وأضاف إليها ثم سماها مسلمات هلبرت وهى خمس مجموعات هى مسلمات البينية والتطابق والاتصال والتوازى والوقوع وسوف نناقشها
1-مسلمات الوقوع (أ)"لكل نقطتين ق ،ك يوجد خط وحيد ل بحيث أن ق ،ك تنتمى ل ل وهى مسلمة اقليدس الأولى والخطأ فيها هو أن النقطتين ق،ك يمكن أن يقعا على أكثر من خط وذلك كما فى نقاط التقاطع المرورى والرسم يبين ذلك
(ب)"كل خط ل تقع عليه نقطتين مختلفتين على الأقل"

(ج)"يوجد على الأقل ثلاث نقط لا تقع على استقامة واحدة "وخطأ المسلمة هو تنكير الاستقامة لأن التنكير يفيد وجود استقامات عديدة بينما لا يوجد سوى مستقيم واحد والباقى منحرف عنه وذلك إن كان للاستقامة وجود حقيقى ومن ثم فإن أقل عدد من النقط لا يقع على الاستقامة نقطتين ولو كانت المسلمة الأولى سليمة لأصبحت هذه المسلمة سليمة ومن النتائج المترتبة على هذه المسلمات :
-تقاطع خطين مختلفين يحتوى على الأكثر على نقطة وحيدة وهذه النتيجة تتعارض مع الواقع حيث يجوز أن يتقاطع خطان فى أكثر من نقطة مثل ما يحدث فى خطوط المواصلات التى تتقاطع فيها الخطوط فى أكثر من موضع بين طريقين طوليين
(د)لكل نقطة ق فإنه يوجد على الأقل خطين مختلفين مارين بها "وطبقا لقاعدة الاحتمالات فإن النقطة ق يمكن أن يمر بها خط واحد ويمكن ألا يمر بها خط ومن ثم فلا دليل على كلمة أقل من الواقع

وبقية النتائج السبعة لم اعرف صحتها من خطأها لعدم فهمى لكلمة المستوى كما يفهمها أهل الرياضيات