نقد مسلمات هلبرت

مسلمات هلبرت :
سماها جانوس بولياى الهندسة المطلقة وهى تسمية غير مطابقة للواقع وسماها برينوتز وجوردان الهندسة المحايدة وقد قام دافيد هلبرت أحد المشتغلين بالرياضيات بتجميع جهود من قبله فى الهندسة وأضاف إليها ثم سماها مسلمات هلبرت وهى خمس مجموعات هى مسلمات البينية والتطابق والاتصال والتوازى والوقوع وسوف نناقشها
1-مسلمات الوقوع (أ)"لكل نقطتين ق ،ك يوجد خط وحيد ل بحيث أن ق ،ك تنتمى ل ل وهى مسلمة اقليدس الأولى والخطأ فيها هو أن النقطتين ق،ك يمكن أن يقعا على أكثر من خط وذلك كما فى نقاط التقاطع المرورى والرسم يبين ذلك
(ب)"كل خط ل تقع عليه نقطتين مختلفتين على الأقل"

(ج)"يوجد على الأقل ثلاث نقط لا تقع على استقامة واحدة "وخطأ المسلمة هو تنكير الاستقامة لأن التنكير يفيد وجود استقامات عديدة بينما لا يوجد سوى مستقيم واحد والباقى منحرف عنه وذلك إن كان للاستقامة وجود حقيقى ومن ثم فإن أقل عدد من النقط لا يقع على الاستقامة نقطتين ولو كانت المسلمة الأولى سليمة لأصبحت هذه المسلمة سليمة ومن النتائج المترتبة على هذه المسلمات :
-تقاطع خطين مختلفين يحتوى على الأكثر على نقطة وحيدة وهذه النتيجة تتعارض مع الواقع حيث يجوز أن يتقاطع خطان فى أكثر من نقطة مثل ما يحدث فى خطوط المواصلات التى تتقاطع فيها الخطوط فى أكثر من موضع بين طريقين طوليين
(د)لكل نقطة ق فإنه يوجد على الأقل خطين مختلفين مارين بها "وطبقا لقاعدة الاحتمالات فإن النقطة ق يمكن أن يمر بها خط واحد ويمكن ألا يمر بها خط ومن ثم فلا دليل على كلمة أقل من الواقع

وبقية النتائج السبعة لم اعرف صحتها من خطأها لعدم فهمى لكلمة المستوى كما يفهمها أهل الرياضيات
(ب) مسلمات البينية :التعبير أ*ب*ج يعنى النقطة ب تقع بين أ ،ج
1-إذا كانت أ*ب*ج فإن أ،ب،ج تكون ثلاث نقط مختلفة تقع جميعها على خط واحد "والخطأ هنا هو وقوع النقاط الثلاثة على خط واحد وطبقا لقانون الاحتمالات فذلك ممكن كما أن من الممكن وقوعهم على خطين أو أكثر فمثلا سنقول طنطا نقطة واقعة بين نقطة القاهرة ونقطة الإسكندرية ولكننا نقدر أن نقول طنطا تقه بين الزقازيق والإسكندرية أو الإسكندرية تقع بين رشيد ومرسى مطروح أو القاهرة تقع بين أسوان ودمياط فكل نقطة هنا يمر بها أكثر من خط
2- "إذا كانت النقطتان ب ،ق مختلفتين فإنه يوجد نقط أ،ج ،ك على الخط ب ق بحيث أن ب*ق*ك ،ب*ج*ق ،أ*ب*ق


3-"إذا كان أ،ب،ج ثلاث نقط مختلفة واقعة على خط واحد فإن واحدا فقط من التقارير :أ*ب*ج،ب*أ*ج،ج*أ*ب يكون صحيحا "هذه المسلمة صحيحة فى الخطوط المفتوحة أما الخطوط المغلقة كالدائرة او الشكل البيضاوى فليست صحيحة لأن فى الأشكال المغلقة

يمكن اعتبار أى نقطة فيها بداية أو نهاية أو وسط ومن ثم فالتقارير الثلاثة تكون صحيحة
4-"لكل خط ل ولأى ثلاث نقط أ،ب،ج لا تنتمى ل ل:
أ-إذا كانت أ،ب فى جانب واحد من ل ،ب،ج فى جانب من ل فإن أ ،ج تكون فى جانب واحد من ل

وطبقا لهذا الرسم يكون الجزء من المسلمة صحيحا ولكن ماذا لو كانت النقطة أ أو النقطة ج فى الجانب المضاد من ل دون أن تقع على الخط ل كان يمر من تحته أو من فوقه الجزء الواصل من الخط مع ب؟إن الحال ستكون انهما لا يقعان فى جانب واحد وإنما أكثر من جانب
ب-"إذا كانت أ،ب فى جانبين متضادين من ل،ب،ج فى جانبين متضادين من ل فإن أ،ج تكون فى جانب واحد من ل "وهو كلام صحيح

ج-بفرض أن <أ أى <بأ ج زاوية ما ،أب شعاع خارج من أ إذن يوجد شعاع وحيد أد على جانب معطى من الخط أ ب بحيث <ب أج =<ب أج
د-إذا كانت <أ= <ب ،<أ =<ج فإن <ب=<ج علاوة على ذلك فإن كل زاوية تكون متطابقة مع نفسها "والعبارة الأخيرة جنونية
ه-إذا تطابق ضلعان وزاوية محصورة لمثلث مع ضلعين وزاوية محصورة لمثلث أخر على الترتيب فإن المثلثين يكونان متطابقين
ومن النتائج المترتبة على المسلمات :
-لكل خط ل وكل نقطة ق يوجد خط مار بالنقطة ق عموديا على ل قد يوجد خط مار بالنقطة ق عموديا وقد لا يوجد لأن ذلك فى دنيا الواقع مرتبط بأسباب

(ج)مسلمات الاتصال :
1-مسلمة أرشميدس "إذا كانت أب ،ج د قطعتين مستقيمتين فإنه يوجد العدد ن بحيث أن ج د يمكن وضعها ن من المرات على الشعاع أب الخارج من أ ،إذن توجد النقطة ق بحيث أن ج د = أق ،ب تكون بين أ،ق

2-مسلمة ديدكند إذا فرض أن مجموعة جميع النقط على الخط ل هى اتحاد المجموعتين ك،ك*الغير خاليتين بحيث أنه لا توجد نقطة من ك تكون بين نقطتين فى ك*والعكس إذن توجد نقطة وحيدة و تنتمى ل ل بحيث أن ق وق*إذا وفقط إذا كان ق تنتمى ل ك ،ق تنتمى ك ،و# ق،ق*)

4-مسلمة التوازى "لكل خط ل ولكل نقطة ق لا تنتمى ل ل فإنه يوجد على الأكثر خط واحد ل يمر بالنقطة ق ويوازى الخط ل "هذه المسلمة صحيحة إلا إذا قصد بها ما يسمى المستقيمات فإنها خاطئة ولا تكون صحيحة إذا كان من نتيجتها تقاطع الخطين كما فى مسلمة اقليدس للتوازى


(د)مسلمات التطابق :
1-إذا كانت أ،ب نقطتان مختلفتان أ نقطة ما فإن لكل شعاع س خارج من أ يوجد نقطة وحيدة ب س بحيث ان أ ب ،أب = أب والرمز = يعنى تطابق وبالقطع أب = أب لا يمكن وجود تطابق بينهما بغض النظر عن الخطأ فى القول "قطعتان مستقيمتان "إلا إذا كان لهما نفس الميل ونفس الاتجاه ونفس الطول والمسلمة لا تقول ذلك مما يعنى حدوث الأمر او عدم حدوثه

2- إذا كانت أب = ج د ،أب = ه و فإن ج د =ه و علاوة على ذلك فإن كل قطعة مستقيمة متطابقة مع نفسها "والعبارة الأخيرة جنونية فلا يوجد شىء اسمه التطابق لن التطابق إنما يكون بين شيئين أو أكثر وهذا الشىء هو نفسه ومن ثم فهذه العبارة لا معنى حقيقى لها
3- إذا كانت أ*ب*ج ،أ*ب*ج ،أب = أب ،ب ج = ب ج فإن أج = أ د
4-إذا كانت أ*ب*ج ،ب*ج*د فإن أ*ب*ج
4- إذا كانت أ*ب*د ،ب*ج*د فإن أ*ب*ج
ومن النتائج المترتبة على هذه المسلمات :
-إذا كانت ج*أ*ب خط مار بالنقط الثلاث أ،ب،ج فإنه لكل نقطة تنتمى ل ل إما ق تنتمى للشعاع أب أو ق تنتمى للشعاع أج .
إذا كان معنى وقوع ق هنا هو بين النقطة أو النقطة ب فى الشعاع أب فالنتيجة خاطئة لأن هناك نقط بعد ب وبعد ج فى الشعاع أج فطبقا للرسم توجد نقط بينية ونقد بعدية


نظرية (1)باتش تقول "إذا كان مثلث أبج أى مثلث ،ل أى خط يقطع الضلع أب فى نقطة بين أب إذن ل أيضا إما يقطع الضلع أج او الضلع بج وإذا كان ج لا تنتمى فإن ل لا يقطع كل من أج ،أب "

الخط ل إذا كان يقطع الضلع أب فليس من الضرورى أن يقطع الضلع أج أو الضلع ب ج فقد يمر من أمام أو خلف أحدهما ولا يقطعه ومن ثم فالنظرية خطأ
نظرية 2 "إذا كانت أد بين أج فإن أد يقطع القطعة المستقيمة ب ج "النظرية هى الأخرى خاطئة لأن أد قد يكون بين أج ،أب ولا يقطع ب ج لأنه قد يمر من أمامها أو من خلفها